Câu hỏi: Kính viễn vọng không gian Hubble được triển khai vào ngày 24 tháng 4 năm 1990, bởi tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong nhiệm vụ này, từ khi xuất phát tại t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đầy nhiên liệu rắn bị loại bỏ ở t = 126 (s), được xác định theo phương trình sau: v(t) = 0,001302t³ − 0,09029t² + 23,61t − 3,083 (ft/s). (Nguồn: James Stewart, Calculus.) Tính gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm t = 100 (s), làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
Đáp án đúng là 44,612 ft/s². Gia tốc tức thời là đạo hàm của hàm vận tốc theo thời gian, nên lấy đạo hàm của v(t) = 0,001302t³ − 0,09029t² + 23,61t − 3,083 rồi thay t = 100, ta thu được a(100) = 44,612 ft/s² cho chuyến bay triển khai kính viễn vọng không gian Hubble.
Vì sao gia tốc tại t = 100 s bằng 44,612 ft/s²?
Căn cứ của bài toán là mối liên hệ giữa vận tốc và gia tốc trong chuyển động: gia tốc tức thời a(t) chính là đạo hàm của hàm vận tốc theo thời gian, tức a(t) = v′(t). Đề bài đã cho sẵn phương trình vận tốc của tàu con thoi Discovery trong giai đoạn 0 ≤ t ≤ 126, vì vậy lời giải gồm hai bước chính: tìm hàm gia tốc, rồi thay t = 100 vào hàm đó.
- Tìm hàm gia tốc: áp dụng quy tắc đạo hàm luỹ thừa (tⁿ)′ = n·tⁿ⁻¹ cho từng hạng tử của v(t): a(t) = v′(t) = 3·0,001302t² − 2·0,09029t + 23,61 = 0,003906t² − 0,18058t + 23,61 (ft/s²). Hạng tử hằng −3,083 có đạo hàm bằng 0 nên biến mất.
- Thay t = 100 vào hàm gia tốc: a(100) = 0,003906·(100)² − 0,18058·100 + 23,61 = 0,003906·10 000 − 18,058 + 23,61 = 39,06 − 18,058 + 23,61 = 44,612 (ft/s²).
- Làm tròn kết quả: giá trị 44,612 đã có đúng ba chữ số ở hàng phần nghìn, nên thỏa mãn yêu cầu làm tròn của đề bài mà không cần điều chỉnh thêm.
Giá trị dương cho thấy tại thời điểm 100 giây kể từ khi xuất phát, tàu con thoi đang tăng tốc với mức gần 44,6 ft/s² — phù hợp với giai đoạn tàu còn được đẩy bởi tên lửa nhiên liệu rắn trước khi bị tách bỏ ở t = 126 s.
Hệ thống kiến thức liên quan
Thử thách chính của câu hỏi là nhận ra đúng mối quan hệ giữa vận tốc và gia tốc: đề cho phương trình vận tốc v(t) theo thời gian, và gia tốc tức thời tại một thời điểm chính là đạo hàm của hàm vận tốc tại thời điểm đó. Ba điểm cần nắm vững:
- Chuỗi đạo hàm trong chuyển động: từ hàm vị trí s(t), đạo hàm một lần được vận tốc v(t) = s′(t); đạo hàm lần nữa được gia tốc a(t) = v′(t) = s″(t). Bài này cho sẵn v(t) nên chỉ cần đạo hàm một lần; nếu đề cho s(t) thì phải đạo hàm hai lần.
- Điều kiện áp dụng: phương trình chỉ có hiệu lực trên khoảng 0 ≤ t ≤ 126, tức từ lúc xuất phát đến khi tên lửa đầy nhiên liệu rắn bị loại bỏ; ngoài khoảng này công thức không mô tả chuyển động của tàu.
- Đơn vị: vận tốc tính bằng ft/s nên gia tốc có đơn vị ft/s² (feet trên giây bình phương); nếu đề dùng m/s thì đơn vị gia tốc tương ứng là m/s².
Đây là dạng bài ứng dụng của giải tích trong vật lý chuyển động, kiểm tra kỹ năng chuyển một mô tả bằng lời — “tính gia tốc tức thời” — thành phép đạo hàm và phép thay số chính xác.
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh
- Thấy đề cho v(t) và hỏi gia tốc tức thời tại t = t₀: đạo hàm v(t) trước, thay t₀ sau. Không được thay số trước rồi mới đạo hàm, vì khi đó v(t₀) chỉ là một hằng số và đạo hàm của hằng số bằng 0.
- Quy tắc tính nhanh: hệ số nhân số mũ cũ, số mũ giảm một đơn vị, hạng tử hằng mất đi. Với v(t) = at³ + bt² + ct + d thì ngay lập tức có a(t) = 3at² + 2bt + c.
- Lỗi phổ biến nhất của dạng này là nhầm khái niệm: đề hỏi gia tốc mà lại thế t vào v(t), kết quả thu được chỉ là vận tốc; ngoài ra cần cẩn thận hệ số 2 khi nhân với 0,09029 để tránh lệch kết quả cuối.
Ghi nhớ công thức ngắn gọn: đã có vận tốc, đạo hàm một lần ra gia tốc — đó là toàn bộ ý tưởng của bài toán này.
Bài viết liên quan: