Câu hỏi: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có tuổi thọ trung bình đồng đều nhất.
Đáp án là 15. Với mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ trung bình, ta xác định được tứ phân vị thứ nhất Q1 = 60 và tứ phân vị thứ ba Q3 = 75, do đó khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 – Q1 = 75 – 60 = 15. Chính vì khoảng tứ phân vị nhỏ mà mẫu này được đánh giá là có tuổi thọ trung bình đồng đều nhất: dữ liệu tập trung sát quanh giá trị trung tâm, ít phân tán.
Vì sao khoảng tứ phân vị bằng 15: các bước tính
Kết quả 15 thu được bằng cách xác định đúng vị trí của Q1 và Q3 trong dãy số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm, rồi lấy hiệu của chúng. Các bước tính diễn ra như sau:
- Tính tổng số liệu (tổng tần số) của mẫu: n = 94.
- Tìm tứ phân vị thứ nhất Q1: vị trí của Q1 là (n + 1) : 4 = 95 : 4 = 23,75 ≈ 24. Số liệu thứ 24 trong dãy sắp xếp không giảm là 60. Vậy Q1 = 60.
- Tìm tứ phân vị thứ ba Q3: vị trí của Q3 là 3(n + 1) : 4 = 285 : 4 ≈ 71. Số liệu thứ 71 là 75. Vậy Q3 = 75.
- Tính khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 – Q1 = 75 – 60 = 15.
Về ý nghĩa: Q1, Q2 (trung vị) và Q3 chia 94 số liệu thành bốn phần gần bằng nhau, mỗi phần chứa khoảng 25% dữ liệu. Khoảng từ 60 đến 75 “kẹp” lại khoảng 50% số liệu nằm ở giữa, và độ rộng của vùng này chỉ là 15 đơn vị tuổi. Khi so sánh nhiều mẫu về tuổi thọ trung bình, mẫu nào có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn tức là nửa trung tâm dữ liệu của nó gọn hơn, các giá trị ít dao động — đó là lý do mẫu với ΔQ = 15 được gọi là đồng đều nhất. Sau khi tính, nên kiểm tra nhanh tính hợp lý: Q1 < Q2 < Q3 và ΔQ = 15 > 0.
Công thức tính tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm
Bản chất của tứ phân vị là chia bộ dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: Q1 ứng với 25% dữ liệu đầu tiên, Q2 (trung vị) ứng với 50%, Q3 ứng với 75%. Với dữ liệu ghép nhóm, ta không có các giá trị riêng lẻ mà chỉ có các khoảng và tần số, nên muốn tính tứ phân vị cần áp dụng công thức nội suy trong khoảng chứa tứ phân vị đó.
Cách làm gồm hai bước:
- Cộng dồn tần số (lập bảng tần số tích lũy) để xác định khoảng chứa Q1 (vị trí n/4) và khoảng chứa Q3 (vị trí 3n/4).
- Á dụng công thức nội suy: Q1 = u1 + [(n/4 – m1)/f1] × h1, trong đó u1 là giới hạn dưới của khoảng chứa Q1, m1 là tần số tích lũy của các khoảng đứng trước, f1 là tần số của khoảng đó, h1 là độ dài khoảng. Với Q3, thay n/4 bằng 3n/4 và dùng các ký hiệu tương ứng u3, m3, f3, h3.
Ở bài này, lời giải dùng cách ước lượng nhanh dựa trên vị trí số liệu thứ 24 và thứ 71, cho ΔQ = 15. Cách tính theo vị trí thường dùng khi dữ liệu gần như liệt kê được; khi đề yêu cầu tính chính xác theo sách giáo khoa cho mẫu ghép nhóm, ta dùng công thức nội suy trên.
Một số lỗi hay gặp cần tránh: lấy nhầm Q3 – Q2 thay vì Q3 – Q1; quên làm tròn vị trí của tứ phân vị lên; nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên (giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất) — khoảng biến thiên dễ bị hai giá trị cực đoan kéo giãn, còn khoảng tứ phân vị ít chịu ảnh hưởng đó nên đáng tin hơn khi đánh giá mức độ đồng đều.
Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh dạng bài
Ghi nhớ bộ ba sau để làm nhanh dạng bài tính khoảng tứ phân vị:
- ΔQ = Q3 – Q1; vị trí của Q1 xấp xỉ n/4, vị trí của Q3 xấp xỉ 3n/4 (làm tròn lên khi cần).
- Gặp câu hỏi “mẫu nào đồng đều nhất, kém biến động nhất”: so sánh khoảng tứ phân vị (hoặc độ lệch chuẩn) của các mẫu — mẫu có giá trị nhỏ nhất là đáp án.
- Khi dữ liệu là ghép nhóm: luôn lập bảng tần số tích lũy trước, tìm đúng khoảng chứa Q1 và Q3 rồi mới áp dụng công thức nội suy.
Kiểm tra chốt cuối: ba tứ phân vị phải theo thứ tự Q1 ≤ Q2 ≤ Q3, và ΔQ luôn không âm. Nếu kết quả vi phạm một trong hai điều này, gần như chắc chắn đã nhầm bước xác định vị trí hoặc nhầm khoảng chứa tứ phân vị.
Bài viết liên quan: