Nguyên hàm của 1/x có F(1) = -1: giải chi tiết đếm nghiệm

Câu hỏi: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x và thỏa mãn F(1) = -1. Có tất cả bao nhiêu giá trị của x để 2F(x) = 1/(F(x) + 1) – 1?

Đáp án đúng là 4. Bài toán có đúng 4 giá trị của x thỏa mãn: x = e, x = -e, x = 1/√e và x = -1/√e. Từ điều kiện F(1) = -1, ta tìm được nguyên hàm của 1/x là F(x) = ln|x| – 1; phương trình đã cho quy về phương trình bậc hai theo ẩn phụ t = ln|x| với hai nghiệm, mỗi nghiệm cho hai giá trị x đối nhau.

Vì sao đáp án đúng là 4

Lời giải gồm ba bước: xác định nguyên hàm cụ thể từ điều kiện F(1) = -1, giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ, rồi đếm số giá trị x tương ứng.

1. Bước 1: Tìm biểu thức của F(x)

   Trên miền xác định x ≠ 0, họ nguyên hàm của f(x) = 1/x là ∫ (1/x) dx = ln|x| + C, với C là hằng số tùy ý. Do F(1) = -1 nên ta có ln|1| + C = -1. Vì |1| = 1 và ln 1 = 0, suy ra C = -1. Vậy F(x) = ln|x| – 1.

2. Bước 2: Giải phương trình bằng ẩn phụ

   Điều kiện để phương trình xác định: x ≠ 0 (để ln|x| có nghĩa) và F(x) + 1 = ln|x| ≠ 0 (để mẫu số khác 0). Thay F(x) = ln|x| – 1 vào phương trình đã cho:

   2(ln|x| – 1) = 1/(ln|x| – 1 + 1) – 1

   2ln|x| – 2 = 1/ln|x| – 1

   Đặt t = ln|x| (với t ≠ 0), phương trình trở thành 2t – 2 = 1/t – 1, tương đương 2t – 1 = 1/t. Nhân hai vế với t, ta được 2t² – t – 1 = 0, phân tích thành (2t + 1)(t – 1) = 0. Phương trình có hai nghiệm t = 1 và t = -1/2; cả hai đều khác 0 nên đều được chấp nhận.

3. Bước 3: Tìm các giá trị của x và đếm

   Với t = 1: ln|x| = 1 ⇒ |x| = e ⇒ x = e hoặc x = -e.

   Với t = -1/2: ln|x| = -1/2 ⇒ |x| = e^(-1/2) = 1/√e ⇒ x = 1/√e hoặc x = -1/√e.

   Cả bốn giá trị này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu (x ≠ 0 và x ≠ ±1). Vậy có tất cả 4 giá trị của x thỏa mãn phương trình.

Hệ thống kiến thức liên quan

Dạng bài này kết hợp ba mảng kiến thức: nguyên hàm có điều kiện cho trước, phương pháp đặt ẩn phụ và kỹ năng đếm nghiệm.

• Nguyên hàm và họ nguyên hàm: F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu F'(x) = f(x). Nếu F(x) là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm của f(x) có dạng F(x) + C. Riêng với f(x) = 1/x (x ≠ 0), họ nguyên hàm là ln|x| + C; dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc vì (ln|x|)’ = 1/x với mọi x ≠ 0, trên cả hai khoảng (-∞; 0) và (0; +∞).
• Vai trò của điều kiện ban đầu: đẳng thức F(1) = -1 dùng để xác định hằng số C, chuyển từ cả họ nguyên hàm về đúng một hàm số cụ thể; đó là ý nghĩa của cụm “một nguyên hàm” trong đề bài.
• Phương pháp đặt ẩn phụ: khi ln|x| xuất hiện lồng trong phân thức, đặt t = ln|x| để đưa phương trình về dạng đại số quen thuộc; luôn kiểm tra điều kiện t ≠ 0 do mẫu số trước khi kết luận nghiệm.
• Quy tắc đếm nghiệm: phương trình ln|x| = t với t ≠ 0 luôn có đúng hai nghiệm đối nhau, vì |x| = e^t cho x = ±e^t. Do đó số giá trị của x bằng số nghiệm hợp lệ của t nhân đôi.

Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh

Với câu hỏi kiểu “có bao nhiêu giá trị của x”, cần kiểm tra ba điểm dễ mất điểm nhất. Một, viết đúng công thức ∫ (1/x) dx = ln|x| + C — viết thiếu giá trị tuyệt đối là sai ngay từ bước tìm nguyên hàm của 1/x. Hai, khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, |x| = a (với a > 0) luôn cho hai kết quả x = ±a; quên dấu trừ sẽ đếm được 2 thay vì 4. Ba, nghiệm t = 0 của ẩn phụ phải loại vì làm mẫu số bằng 0 — trong bài này t = 1 và t = -1/2 đều hợp lệ nên không phải loại. Mẹo chốt nhanh: mỗi nghiệm hợp lệ của ẩn phụ t = ln|x| nhân đôi số nghiệm x, nên đáp án của dạng này thường là số chẵn.