Câu hỏi: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A. Ba điểm phân biệt.
- B. Một điểm và một đường thẳng.
- C. Hai đường thẳng cắt nhau.
- D. Bốn điểm phân biệt.
Đáp án đúng là C. Hai đường thẳng cắt nhau. Trong hình học không gian, hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định một mặt phẳng duy nhất mà không cần thêm bất kỳ điều kiện nào về vị trí, trong khi ba phương án còn lại đều có trường hợp thất bại.
Vì sao hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định một mặt phẳng duy nhất?
Căn cứ của đáp án này là kết luận cơ bản của hình học không gian: qua hai đường thẳng cắt nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường. Lời giải gốc chỉ ra rằng muốn có mặt phẳng duy nhất cần ít nhất ba điểm không thẳng hàng, và một cặp đường thẳng cắt nhau luôn “tự tạo” ra ba điểm như vậy.
Cụ thể, gọi hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại O. Chọn điểm A ∈ d với A ≠ O và điểm B ∈ d′ với B ≠ O. Ba điểm A, O, B không thẳng hàng: nếu chúng thẳng hàng thì B nằm trên đường thẳng đi qua A và O, tức nằm trên d, khi đó d và d′ có thêm điểm chung B khác O — trái với giả thiết hai đường chỉ cắt nhau tại O.
Theo tiên đề, ba điểm không thẳng hàng A, O, B xác định duy nhất một mặt phẳng (α). Đường thẳng d đi qua A và O nên nằm trong (α); đường thẳng d′ đi qua O và B nên cũng nằm trong (α). Ngược lại, mọi mặt phẳng chứa cả d và d′ đều phải chứa ba điểm A, O, B, mà ba điểm này chỉ xác định đúng một mặt phẳng, nên mặt phẳng chứa hai đường cắt nhau là duy nhất.
Điểm mấu chốt: kết luận này đúng với mọi cặp đường thẳng cắt nhau, không phụ thuộc vị trí của chúng. Vì thế C thỏa mãn yêu cầu của đề một cách chắc chắn, không mơ hồ.
Vì sao các phương án A, B và D không được chọn?
Cả ba phương án này đều chỉ xác định được mặt phẳng duy nhất trong một số trường hợp, chưa phải luôn luôn đúng như C.
Phương án A. Ba điểm phân biệt
Thiếu điều kiện “không thẳng hàng”. Nếu ba điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng thì qua đường thẳng đó có vô số mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đều chứa cả ba điểm, nên không thể nói duy nhất. Đây là phương án dễ nhầm nhất: nhiều học sinh thuộc lòng “ba điểm xác định một mặt phẳng” mà bỏ sót điều kiện không thẳng hàng.
Phương án B. Một điểm và một đường thẳng
Chỉ xác định mặt phẳng duy nhất khi điểm đó không nằm trên đường thẳng. Nếu điểm A ∈ d thì cặp yếu tố này chỉ tương đương với đường thẳng d, mà qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng. Vì phát biểu không nói điểm nằm ngoài đường thẳng nên B không phải luôn đúng.
Phương án D. Bốn điểm phân biệt
Bốn điểm phân biệt không đảm bảo cùng nằm trên một mặt phẳng: chúng có thể đồng phẳng, nhưng cũng có thể không, ví dụ bốn đỉnh của một hình tứ diện. Khi bốn điểm không đồng phẳng thì không tồn tại mặt phẳng nào chứa tất cả, nên D không đủ điều kiện.
Hệ thống kiến thức: bốn trường hợp xác định mặt phẳng duy nhất
Mặt phẳng là một bề mặt phẳng vô hạn; nói một tập yếu tố “xác định một mặt phẳng duy nhất” nghĩa là có đúng một mặt phẳng chứa tất cả các yếu tố đó. Có bốn trường hợp kinh điển:
- Ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.
Bốn trường hợp liên hệ chặt với nhau: một điểm nằm ngoài đường thẳng cùng hai điểm bất kỳ trên đường đó lập tức tạo thành bộ ba điểm không thẳng hàng; hai đường cắt nhau hoặc song song thì luôn tìm được ba điểm không thẳng hàng nằm trên chúng. Câu hỏi trắc nghiệm kiểu này kiểm tra đúng chỗ đó: phương án chỉ là đáp án khi điều kiện vị trí được nêu đủ.
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh
Khi gặp câu hỏi về các yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất, hãy kiểm tra từng phương án bằng một câu hỏi duy nhất: “Có tồn tại vị trí khiến phương án này thất bại không?”. Nếu có — ba điểm thẳng hàng, điểm nằm trên đường thẳng, bốn điểm không đồng phẳng — phương án đó bị loại vì không luôn đúng.
Cách ghi nhớ bốn trường hợp chuẩn: gắn mỗi trường hợp với điều kiện vị trí của nó — ba điểm phải “không thẳng hàng”, điểm phải “nằm ngoài đường thẳng”, hai đường phải “cắt nhau” hoặc “song song”. Trong đề trắc nghiệm, đáp án đúng thường là trường hợp mà điều kiện đã nằm sẵn trong phát biểu, không cần bổ sung thêm.
Bài viết liên quan: