Câu hỏi: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau đây: v(t) = 0,001302t³ − 0,09029t² + 23 (v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m). Gọi (a; b) là khoảng thời gian gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi. Tính T = a + b?
Đáp án: T = a + b = 46,2 (giây), ứng với khoảng (a; b) = (0; 46,2). Ta lấy đạo hàm của hàm vận tốc v(t) để được hàm gia tốc, sau đó giải phương trình gia tốc bằng 0; hai nghiệm t = 0 và t ≈ 46,2 chính là hai đầu mút của khoảng thời gian cần tìm trong sứ mệnh phóng kính viễn vọng không gian Hubble.
Vì sao đáp án là T = 46,2 giây?
Cốt lõi của bài toán là chuyển từ hàm vận tốc v(t) sang hàm gia tốc a(t) nhờ đạo hàm, rồi dùng các nghiệm của phương trình a(t) = 0 để xác định hai đầu mút của khoảng thời gian cần tìm. Quá trình giải gồm bốn bước:
- Tính gia tốc: gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian, tức a(t) = dv/dt. Áp dụng công thức đạo hàm luỹ thừa cho từng hạng tử: a(t) = v'(t) = 0,003906t² − 0,18058t. Cụ thể, đạo hàm của 0,001302t³ là (0,001302 × 3)t² = 0,003906t²; đạo hàm của 0,09029t² là (0,09029 × 2)t = 0,18058t; còn hằng số 23 có đạo hàm bằng 0 nên biến mất.
- Giải phương trình a(t) = 0: ta có 0,003906t² − 0,18058t = 0. Xuất nhân tử t: t(0,003906t − 0,18058) = 0. Suy ra hai nghiệm t = 0 hoặc 0,003906t − 0,18058 = 0 ⇒ t = 0,18058/0,003906 ≈ 46,2 (s).
- Xác định khoảng (a; b): đề bài tính khoảng thời gian từ thời điểm cất cánh, nên nghiệm t = 0 chính là a, nghiệm t ≈ 46,2 chính là b. Vậy (a; b) = (0; 46,2). Nghiệm b nằm gọn trong khoảng bay [0; 126] nên thỏa mãn điều kiện “cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi”.
- Tính tổng: T = a + b = 0 + 46,2 = 46,2 (giây).
Về mặt vật lý, tại t = 0 và t ≈ 46,2 hàm vận tốc đạt các điểm cực trị — đó là các mốc chuyển đổi trạng thái chuyển động của tàu con thoi. Giải a(t) = 0 chính là cách chuẩn để chia đường vận tốc thành các giai đoạn khác nhau trong suốt quá trình bay lên.
Hệ thống kiến thức liên quan
Bài toán thuộc nhóm ứng dụng đạo hàm vào vật lý, xoay quanh mối quan hệ giữa ba đại lượng: vận tốc (v), gia tốc (a) và thời gian (t). Các kiến thức nền cần nắm:
- Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a(t) = dv/dt. Đây là cầu nối trực tiếp giữa phần đạo hàm trong chương trình Giải tích và phần Cơ học trong Vật lý.
- Khi gia tốc dương thì vật đang tăng tốc; khi gia tốc âm thì vật giảm tốc. Các thời điểm có a(t) = 0 là điểm cực trị của hàm vận tốc, đánh dấu sự thay đổi giữa giai đoạn tăng tốc và giảm tốc.
- Để tìm các giai đoạn đó, ta giải v'(t) = 0 rồi lập bảng xét dấu của a(t) trên khoảng thời gian cho trước (ở đây là [0; 126]), tức là kỹ thuật xét tính đồng biến – nghịch biến của hàm số.
- Về đơn vị: đề cho v tính bằng ft/s với 1 feet = 0,3048 m. Kết quả cần tìm là thời gian nên không phải đổi đơn vị; nếu đề hỏi vận tốc hay gia tốc theo hệ mét thì phải quy đổi feet sang mét trước khi kết luận.
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh
Gặp dạng đề “tìm khoảng thời gian gia tốc tăng/giảm” hoặc “khoảng vận tốc đồng biến” của một hàm v(t) cho trước, luôn thực hiện chuỗi ba động tác: lấy đạo hàm để có a(t) = v'(t), giải a(t) = 0, dùng các nghiệm để chia trục thời gian. Đầu mút của khoảng chính là các số a, b cần tìm.
Một số bẫy cần tránh: nhân thiếu hệ số khi đạo hàm (đạo hàm của 0,001302t³ phải nhân 3); bỏ sót nghiệm t = 0 vì vội chia hai vế cho t; nhầm khoảng cần lấy — đề nói “tính từ thời điểm cất cánh” thì a = 0 chứ không phải một mốc khác. Cuối cùng, luôn kiểm tra các nghiệm nằm trong miền thời gian [0; 126] của bài toán trước khi tính T.
Bài viết liên quan: