Câu hỏi: Một người đang thiết kế một khu vườn hình chữ nhật với chiều dài gấp đôi chiều rộng. Diện tích của khu vườn không được vượt quá 72m². Tìm tổng chiều dài và chiều rộng sao cho diện tích của khu vườn đạt giá trị tối đa.
Đáp án đúng là 18m. Khi chiều rộng bằng 6m và chiều dài bằng 12m, một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng sẽ đạt diện tích lớn nhất bằng đúng 72m², nên tổng chiều dài và chiều rộng là 6 + 12 = 18m.
Vì sao đáp án là 18m? Lời giải từng bước
Bài toán thuộc dạng tối ưu có điều kiện ràng buộc: diện tích bị chặn trên bởi 72m², nên diện tích lớn nhất phải là giá trị lớn nhất của biểu thức diện tích trong miền cho phép. Ta thực hiện theo trình tự sau:
- Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m), với x > 0. Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài bằng 2x (m).
- Diện tích khu vườn là S = chiều dài × chiều rộng = 2x × x = 2x². Điều kiện “diện tích không vượt quá 72m²” chính là bất phương trình 2x² ≤ 72.
- Giải bất phương trình: 2x² ≤ 72 ⇒ x² ≤ 36 ⇒ x ∈ [−6; 6]. Kết hợp điều kiện x > 0, miền giá trị cho phép của x là (0; 6].
- Vì a = 2 > 0, hàm số S = 2x² có đồ thị là parabol hướng lên và đồng biến khi x > 0, do đó S đạt giá trị lớn nhất tại biên phải của miền cho phép, tức là khi x = 6.
- Thay x = 6: chiều rộng bằng 6m, chiều dài bằng 2x = 12m, diện tích S = 6 × 12 = 72m², đạt đúng giới hạn mà đề bài cho phép.
Vậy tổng chiều dài và chiều rộng là 6 + 12 = 18m. Kết quả này thỏa mãn mọi yêu cầu của đề: tỉ lệ 2 : 1 giữa hai cạnh được giữ nguyên và diện tích đạt mức tối đa 72m².
Có thể kiểm chứng bằng vài giá trị lân cận: nếu x = 5 thì S = 2 × 5² = 50m², chưa tối ưu; nếu x = 6,5 thì S = 2 × 6,5² = 84,5m², vượt quá giới hạn 72m² nên không được chấp nhận. Chỉ có x = 6 cho diện tích lớn nhất trong miền cho phép.
Hệ thống kiến thức liên quan
Cách tiếp cận bài toán này dựa trên ba mảng kiến thức nền tảng:
- Thiết lập quan hệ giữa các đại lượng: gọi chiều rộng là w và chiều dài là l, điều kiện “chiều dài gấp đôi chiều rộng” cho ta l = 2w. Nhờ đó, mọi đại lượng được biểu diễn qua đúng một ẩn, đây là kỹ thuật lập phương trình cơ bản trong các bài toán thực tế.
- Vận dụng công thức hình học: diện tích hình chữ nhật là A = l × w. Thay l = 2w vào công thức, ta được A = 2w × w = 2w², tức diện tích trở thành hàm số bậc hai theo một ẩn.
- Lập và giải bất phương trình đại số: ràng buộc “diện tích không vượt quá 72m²” cho ta 2w² ≤ 72. Muốn diện tích tối đa, ta tìm giá trị w lớn nhất thỏa mãn bất phương trình, tương đương với giải phương trình 2w² = 72, chỉ lấy nghiệm dương w = 6. Sau đó tính l = 2w = 12 và cuối cùng tính tổng l + w = 18.
Dạng bài này kiểm tra khả năng chuyển một tình huống thực tế thành mô hình toán học, giải bất phương trình bậc hai và vận dụng công thức diện tích vào ngữ cảnh cụ thể, thường gặp trong chương trình đại số và bất phương trình ở bậc THCS, THPT.
Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện dạng bài
Chuỗi xử lý nhanh cho dạng này: ràng buộc dạng “không vượt quá M” ⇒ giá trị tối đa luôn đạt tại biên, tức khi đại lượng bằng đúng M. Cụ thể ở đây: diện tích tối đa 72m², tỉ lệ hai cạnh 2 : 1 ⇒ 2w × w = 72 ⇒ w² = 36 ⇒ w = 6, suy ra l = 12 và tổng hai cạnh là 18m.
Một số bẫy thường gặp cần tránh: đề hỏi tổng chiều dài và chiều rộng (18m), không phải chiều dài (12m) hay chiều rộng (6m), nên nhiều bạn giải đúng đến cuối lại chọn nhầm số 6 hoặc 12; khi đề cho tỉ lệ giữa các cạnh, nên đặt ẩn theo cạnh nhỏ để biểu thức gọn và ít sai số hơn. Nhớ thêm rằng tổng hai cạnh kề của hình chữ nhật chính là nửa chu vi, ở bài này bằng đúng 18m.
Bài viết liên quan: