Góc phẳng nhị diện [S,BD,A] hình chóp S.ABCD: Đáp án 60°

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) với SA = 3a√30/10; AB = a; AD = 3a. Gọi H là hình chiếu của A lên BD. Số đo góc phẳng nhị diện [S, BD, A] bằng:

• A. 45°.
• B. 60°.
• C. 90°.
• D. 30°.

Đáp án đúng là B. 60°. Vì SA ⊥ (ABCD) và H là hình chiếu của A lên BD nên góc phẳng nhị diện [S, BD, A] chính là góc SHA; tam giác SAH vuông tại A có tan SHA = √3, suy ra góc này bằng 60°. Đây là dạng bài tiêu biểu khi tính góc nhị diện của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.

Vì sao đáp án B (60°) là đúng?

Góc phẳng nhị diện [S, BD, A] có số đo 60° vì nó trùng với góc SHA trong tam giác SAH vuông tại A, mà tỉ số tang của góc này bằng √3. Các bước tính cụ thể như sau.

1. Tính đường chéo BD. Tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật), theo định lí Pythagore: BD² = AB² + AD² = a² + (3a)² = 10a² ⇒ BD = a√10.
2. Tính độ dài AH. Trong tam giác ABD vuông tại A, AH là đường cao ứng với cạnh huyền nên theo hệ thức lượng: AH·BD = AB·AD ⇒ AH = (a·3a)/(a√10) = 3a/√10.
3. Chứng minh SHA là góc phẳng nhị diện. Vì H là hình chiếu của A lên BD nên AH ⊥ BD. Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD. Hai đường SA và AH cắt nhau tại A nên BD ⊥ mp(SAH), do đó BD ⊥ SH. Như vậy tại H, cả AH (thuộc mặt đáy) lẫn SH (thuộc mp(SBD)) đều vuông góc với giao tuyến BD, nên góc SHA chính là góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, A].
4. Tính số đo góc SHA. Tam giác SAH vuông tại A nên tan SHA = SA/AH = (3a√30/10) : (3a/√10) = (√30·√10)/10 = √300/10 = √3 ⇒ SHA = 60°.

Có thể kiểm tra lại bằng cạnh huyền SH: SH² = SA² + AH² = 270a²/100 + 90a²/100 = 360a²/100 = 18a²/5 ⇒ SH = 3a√10/5. Khi đó cos SHA = AH/SH = (3a/√10) : (3a√10/5) = 1/2, cũng cho kết quả 60°, khớp với cách tính theo tang.

Vì sao các phương án còn lại sai?

Ba phương án còn lại đều sai vì nhầm cấu trúc tam giác vuông hoặc nhầm tỉ số lượng giác.

• A. 45° — sai. Nếu góc SHA bằng 45° thì tan SHA = 1, tức SA = AH. Thực tế SA = 3a√30/10 ≈ 1,64a còn AH = 3a/√10 ≈ 0,95a; hai cạnh này không bằng nhau vì SA/AH = √3 ≈ 1,73.
• C. 90° — sai. Góc nhị diện bằng 90° đòi hỏi SH ⊥ AH, tức tam giác SAH phải vuông tại H. Nhưng tam giác này vuông tại A (do SA ⊥ đáy) nên góc SHA nhất thiết nhỏ hơn 90°.
• D. 30° — sai, là phương án dễ nhầm nhất. Kết quả 30° xuất hiện khi viết nhầm tỉ số: lấy tan SHA = AH/SA = 1/√3. Thực chất 30° là số đo của góc ASH (góc còn lại trong tam giác vuông SAH), không phải góc SHA cần tìm.

Phương án D nguy hiểm nhất vì vẫn dùng đúng tam giác SAH, chỉ đảo mẫu – tử của tỉ số tang là chốt nhầm 30° thay vì 60°.

Hệ thống kiến thức liên quan

Bài tập này gói gọn ba kiến thức nền của chương trình Hình học 11:

• Góc phẳng nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng chung một cạnh a; số đo của nó bằng số đo góc phẳng (góc tuyến), tức góc tạo bởi hai tia cùng vuông góc với a tại một điểm chung, mỗi tia nằm trong một nửa mặt phẳng.
• Định lí ba đường vuông góc: hình chiếu của đường xiên vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng thì chính đường xiên đó cũng vuông góc với đường thẳng ấy. Trong bài, AH là hình chiếu của SH lên mp(ABCD) mà AH ⊥ BD nên SH ⊥ BD — đây chính là lí do góc SHA được chọn làm góc phẳng nhị diện.
• Phương pháp diện tích chiếu (cách kiểm tra khác): cos của góc giữa mp(SBD) và mp(ABD) bằng tỉ số diện tích hình chiếu và diện tích tam giác gốc, tức S(ABD)/S(SBD) = (3a²/2)/(3a²) = 1/2, cũng xác nhận góc bằng 60°.

Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh

Khi đề cho “H là hình chiếu của A lên BD” kèm điều kiện SA ⊥ đáy thì góc phẳng nhị diện [S, BD, A] đã được dựng sẵn dưới dạng góc SHA, không cần thêm đường phụ nào. Trình tự ba nhịp: xác định giao tuyến BD của hai mặt phẳng; nhận AH ⊥ BD và SA ⊥ BD ⇒ SH ⊥ BD; tính góc SHA bằng tang trong tam giác vuông SAH.

Một chốt kiểm tra nhanh: so sánh SA với AH trước khi tính. Nếu SA > AH thì góc lớn hơn 45°; nếu SA < AH thì góc nhỏ hơn 45°. Ở đây SA ≈ 1,64a > AH ≈ 0,95a nên góc phải lớn hơn 45°, loại ngay A và D, chỉ còn cân nhắc giữa 60° và 90°.